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立体の切断

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最近の入試問題で苦手分野の問題の1つに「立体の切断」があります。
今回は、2018年早稲田実業中の問題について考えてみましょう。

問題(2018年 早稲田実業中 出題)

木でできた一辺の長さが 6 cm の立方体があり,AP=AQ= 4 cm,CR=CS= 3 cmです。
この立方体はすべての表面が赤色に塗られています。
まず,3点E,B,Dを通る平面で立方体を切り,切り分けられた2つの立体のうち頂点Aをふくむ方を立体ア,頂点Cをふくむ方を立体イとします。
次の各問いに答えなさい。

 (1)立体アを,3点E,P,Qを通る平面で切り,
切り分けられた2つの立体のうち頂点Aをふくまない方を立体ウとします。
立体ウの体積を求めなさい。
 
(2)立体イを,3点E,R,Sを通る平面で切り,
切り分けられた2つの立体のうち頂点Cをふくまない方を立体エとします。
次の①,②に答えなさい。
立体エの表面で赤色に塗られた部分の面積の合計を求めなさい。
立体エの体積を求めなさい。
 

※切断ルール
① 平面と平面が交わる線は直線であり、ただ1本しかない。
     (同一平面上にある2点を結ぶことはできる)
② 平行な2つの平面と1つの平面が交わるとき,その交わりの直線は平行になる。

問題の解説と解答

(1)

 

立体ア→三角すいE‐ABD
立体ウ→四角すいE‐BDQP
よって,立体ウ→(6×6÷2−4×4÷2)×6×1/3=20cm3

答え、20cm3
 
(2)-①

 

立体イ→ 立方体−三角すいE−ABD
 

 

・EとS,EとRは同一平面上にはない。ゆえに2点を結ぶことはできないので切断ルールの②を使う。
・Eを通りSRに平行な直線FGを引く
・三角形CSRと三角形BEGと三角形DFAは相似となるので
  BG=DF=6cm
 となる。

・SとF,FとGは同一平面上にあるので2点を結ぶことができる
・HとE,IとGは同一平面上にあるので2点を結ぶことができる
・三角形BIRと三角形KIGは相似
 三角形DHSと三角形JHFは相似となるので
  BI=DH=2cm,KI=JH=4cm
 となる。

立体Iの表面が赤色に塗られた部分は台形SDBRと三角形BIR,三角形DHSと三角形BIE,三角形DHEの5面である。
 
(6×6÷2−3×3÷2)+2×3÷2×2+2×6÷2×2
=31.5cm2

答え、31.5cm2
 
(2)-②

・三角形BIRと三角形CLRは合同となるのでCL=2cm
・立体CSR−EKM =立体LHEI−JMK -三角すいL−SRC

   

立体イ=6×6×6−6×6÷2×6× 1/3 180 cm 3
よって立体エ=180−141 39 cm 3

答え、39cm3
 

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